Quiz sur les fonctions quadratiques — Secondaire 5

Réponse : −7

Comme a = 2 est positif, la parabole s'ouvre vers le haut : son sommet est le point le plus bas et la valeur minimale est l'ordonnée de ce sommet. Deux étapes, et la première ne se saute pas. Première étape, trouver où se situe le sommet : x = −b / (2a) = −8 / (2 × 2) = −8 / 4 = −2. Deuxième étape, trouver jusqu'où la courbe descend à cet endroit, en remplaçant ce x dans la règle : y = 2(−2)² + 8(−2) + 1 = 2(4) − 16 + 1 = 8 − 16 + 1 = −7. Le sommet est donc (−2, −7) et la valeur minimale vaut −7. La complétion du carré le confirme : 2x² + 8x + 1 = 2(x² + 4x) + 1 = 2((x + 2)² − 4) + 1 = 2(x + 2)² − 8 + 1 = 2(x + 2)² − 7. Chaque mauvaise option est une étape qui a dérapé, et aucune ne s'écarte sans travailler. La réponse −2 est l'endroit où le minimum se produit, pas le minimum lui-même : relis l'énoncé deux fois, c'est l'erreur la plus fréquente dans ce type de question. La réponse −3 vient d'un oubli : on ne multiplie pas le −4 de compensation par le 2 placé devant la parenthèse, et on écrit −4 + 1 au lieu de −8 + 1. Et −19 vient d'un carré escamoté dans la substitution, en calculant 2(−2) − 16 + 1 au lieu de 2(−2)² − 16 + 1. Une bonne habitude : dès que tu as un candidat, teste-le contre un point voisin. Ici, f(−1) = 2 − 8 + 1 = −5, donc au-dessus de −7, et f(−3) = 18 − 24 + 1 = −5 aussi — symétrique autour de x = −2, exactement comme le sommet l'exige.

Réponse : x < −2 ou x > 4

Une inéquation ne se résout jamais en déplaçant des termes comme s'il s'agissait d'une équation : il faut d'abord savoir où la courbe croise l'axe. Commence par l'équation : x² − 2x − 8 = 0. Factorise en cherchant deux nombres de produit −8 et de somme −2, soit −4 et 2 : (x − 4)(x + 2) = 0, donc les zéros sont −2 et 4. Attention aux signes ici : les facteurs sont (x − 4) et (x + 2), mais les zéros valent +4 et −2, les signes contraires. Se tromper là-dessus, c'est exactement ce qui produit les réponses construites sur −4 et 2. Ces deux zéros découpent la droite numérique en trois tronçons : teste une valeur dans chacun. À x = −3 : 9 + 6 − 8 = 7, positif. À x = 0 : −8, négatif. À x = 5 : 25 − 10 − 8 = 7, positif. L'inéquation demande les valeurs positives : la réponse est donc les deux tronçons extérieurs, x < −2 ou x > 4. La forme de la courbe l'explique sans aucun test : a = 1 est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, elle est donc sous l'axe entre ses zéros et au-dessus à l'extérieur. Retiens ce schéma — « plus grand que zéro » veut dire à l'extérieur pour une parabole ouverte vers le haut, « plus petit que zéro » veut dire entre les deux — et remarque que l'inégalité est stricte, donc les zéros eux-mêmes sont exclus.

Réponse : ]−∞, 5]

L'image est l'ensemble de toutes les hauteurs que la fonction atteint réellement. Deux choses la déterminent, et il faut les deux. D'abord, dans quel sens la courbe s'ouvre-t-elle ? Le coefficient devant le carré vaut a = −2, donc négatif : la parabole s'ouvre vers le bas, elle possède un point le plus haut, rien au-dessus, et elle descend indéfiniment en dessous. Cela te dit déjà que l'image est bornée en haut et non bornée en bas, d'où le −∞ à gauche. Ensuite, à quelle hauteur se trouve ce point le plus haut ? La fonction est déjà sous la forme canonique a(x − h)² + k, le sommet est donc (1, 5) et la hauteur maximale vaut k = 5. Réunis les deux : la fonction atteint 5 et tout ce qui est en dessous, l'image est donc ]−∞, 5]. Le crochet se ferme sur 5 parce que cette valeur est réellement atteinte, en x = 1. Vérifie avec une valeur : à x = 3, f(3) = −2(4) + 5 = −3, bien en dessous de 5 ; et aucun x ne peut faire monter le résultat au-dessus de 5, puisque −2(x − 1)² n'est jamais positif. Chaque mauvaise option prend un ingrédient pour un autre. [5, +∞[ a le bon sommet mais le mauvais sens, ce qui arrive quand on ne voit pas le signe moins devant le 2. ]−∞, 1] prend l'abscisse du sommet au lieu de son ordonnée : c'est le faux pas le plus fréquent de tous, puisque le 1 est écrit juste là, dans la parenthèse. Et ]−∞, −2] prend le coefficient a pour une hauteur. Retiens aussi la forme de la réponse : pour une parabole, l'image est toujours une demi-droite bornée par k, jamais un intervalle borné et jamais l'ensemble des réels.

Réponse : y = x² − 2x − 3

Lis le graphique en trois temps, et cette fois c'est le troisième qui tranche. D'abord les zéros : la courbe croise l'axe des x en x = −1 et x = 3, la règle a donc la forme y = a(x + 1)(x − 3). Ensuite l'ordonnée à l'origine : la courbe croise l'axe vertical à −3. Remplace x par 0 dans la forme factorisée : a(1)(−3) = −3, ce qui donne a = 1. Donc y = (x + 1)(x − 3) = x² − 3x + x − 3 = x² − 2x − 3, soit la première option. Enfin, confirme par toi-même : l'axe de symétrie passe à mi-chemin des zéros, en x = 1, et la règle y place le sommet à 1 − 2 − 3 = −4, soit exactement le creux du dessin. Ça concorde. Reste à voir pourquoi les trois autres échouent, car aucune ne s'écarte d'un coup d'œil : les quatre s'ouvrent vers le haut et les quatre croisent l'axe des x. La règle y = x² + 2x − 3 se factorise en (x + 3)(x − 1), ses zéros sont donc −3 et 1 : c'est l'image miroir du dessin, et elle partage même la même ordonnée à l'origine de −3 — c'est précisément pour cela que lire l'ordonnée à l'origine seule ne suffit pas. La règle y = x² − 2x − 8 se factorise en (x − 4)(x + 2), zéros −2 et 4, avec une ordonnée à l'origine de −8, beaucoup trop basse. Et y = 2x² − 4x − 6 se factorise en 2(x + 1)(x − 3) : elle a exactement les mêmes zéros, −1 et 3, que la bonne réponse. La seule chose qui les distingue est l'étirement : son ordonnée à l'origine vaut −6 au lieu de −3 et son sommet est (1, −8) au lieu de (1, −4), la courbe serait donc deux fois plus creuse. La leçon à retenir, c'est que deux zéros ne déterminent jamais une parabole à eux seuls : il faut toujours un troisième point pour fixer a.

Réponse : Elle n'a aucun zéro réel.

Les quatre affirmations portent sur les zéros, et aucune ne se tranche en regardant l'allure de la courbe : il faut calculer le discriminant. Δ = b² − 4ac, et avec a = 2, b = 3 et c = 5, cela donne Δ = 9 − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31. Un discriminant négatif signifie que la formule quadratique demanderait la racine carrée d'un nombre négatif, qui n'a aucune valeur réelle : la fonction n'a donc aucun zéro réel, et c'est la troisième affirmation qui est vraie. Les trois cas méritent d'être retenus : Δ > 0 donne deux zéros, Δ = 0 en donne exactement un et le sommet est alors sur l'axe, et Δ < 0 n'en donne aucun. Cela règle d'un coup les deux premières affirmations. La quatrième est la plus intéressante, car c'est une affirmation plus fine : les zéros sont irrationnels quand Δ est positif sans être un carré parfait — par exemple x² − 2 = 0, dont Δ vaut 8 et les zéros ±√2. On ne peut en juger qu'après avoir calculé Δ, et ici Δ est négatif : il n'y a aucun zéro et l'affirmation s'effondre. Géométriquement, l'ensemble est limpide : a = 2 est positif, la parabole s'ouvre donc vers le haut, et son sommet se situe à x = −3/4 avec y = 2(9/16) − 9/4 + 5 = 9/8 − 18/8 + 40/8 = 31/8, nettement au-dessus de l'axe des x, que la courbe ne touche par conséquent jamais.

Réponse : 4

La formule est x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Repère les coefficients avec leurs signes : a = 2, b = −5, c = −12. Discriminant : Δ = (−5)² − 4(2)(−12) = 25 + 96 = 121. Surveille cette étape : moins quatre fois deux fois moins douze donne plus quatre-vingt-seize, car deux négatifs font un positif. La racine carrée de 121 vaut 11. Le dénominateur est maintenant 2a = 4, et non 2 : avec un coefficient dominant différent de 1, oublier de doubler a est le naufrage le plus fréquent. Donc x = (5 ± 11) / 4. Avec le plus, x = 16 / 4 = 4. Avec le moins, x = −6 / 4 = −1,5. La plus grande solution est 4. Vérifie-la : 2(16) − 5(4) − 12 = 32 − 20 − 12 = 0. C'est juste. Vérifie aussi l'autre : 2(2,25) + 7,5 − 12 = 4,5 + 7,5 − 12 = 0. Les deux racines tiennent.

Réponse : 21 m

Comme a = −5 est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas et son sommet est un maximum, soit exactement le point le plus haut du lancer. Trouve d'abord le temps : t = −b / (2a) = −20 / (2 × −5) = −20 / −10 = 2 secondes. Trouve ensuite la hauteur à ce moment en remplaçant : h = −5(2)² + 20(2) + 1 = −5(4) + 40 + 1 = −20 + 41 = 21 mètres. La balle culmine donc à 21 m, deux secondes après le lancer. Remarque le sens physique de chaque nombre : la constante 1 est la hauteur à t = 0, donc la balle a quitté une main à un mètre du sol, et le −5 vient de la gravité. Et fais attention à ce qui est demandé : la réponse est la hauteur 21, pas le temps 2. Confondre les deux coordonnées du sommet est l'erreur la plus fréquente dans les problèmes d'optimisation.

Réponse : 12

C'est le discriminant lu à l'envers, avec un coefficient dominant différent de 1. Une équation ax² + bx + c = 0 possède exactement une solution — une racine double — quand Δ = b² − 4ac vaut zéro. Ici, a = 4, b = k et c = 9, donc Δ = k² − 4(4)(9) = k² − 144. Pose cette expression égale à zéro : k² = 144, donc k = 12 ou k = −12. Les deux valeurs donnent réellement une racine double, et c'est bien pour cela que la question demande la valeur positive : k = 12. Vérifie-la : 4x² + 12x + 9 est le carré parfait (2x + 3)², dont la seule solution est x = −3/2. Deux choses méritent d'être retenues. D'abord, élever au carré efface le signe : une équation comme k² = 144 a toujours deux réponses et il faut revenir à l'énoncé pour choisir — ici, le mot « positive » s'en charge. Ensuite, remarque la traduction géométrique de la racine double : la parabole touche l'axe des x en un point unique au lieu de le traverser. Si k dépassait 12, le discriminant deviendrait positif et la courbe couperait l'axe deux fois ; si k se situait entre −12 et 12, le discriminant serait négatif et la courbe resterait à distance de l'axe.

Réponse : y = 3(x − 2)² − 5

Quand le coefficient de x² n'est pas 1, il faut le mettre en évidence dans les termes en x avant de compléter le carré : c'est l'étape qui fait trébucher presque tout le monde. Part de y = 3x² − 12x + 7 et sors le 3 des deux premiers termes seulement : y = 3(x² − 4x) + 7. Complète maintenant le carré à l'intérieur de la parenthèse. Prends le coefficient de x, soit −4, coupe-le en deux pour obtenir −2, puis élève au carré pour obtenir 4. Ajoute et retranche 4 dans la parenthèse : y = 3(x² − 4x + 4 − 4) + 7 = 3((x − 2)² − 4) + 7. Distribue le 3 sur les deux morceaux — sur le second aussi, et c'est l'autre faux pas classique : y = 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5. Le sommet est donc (2, −5). Développe à rebours pour vérifier : 3(x − 2)² − 5 = 3(x² − 4x + 4) − 5 = 3x² − 12x + 12 − 5 = 3x² − 12x + 7. C'est juste. Les mauvaises options correspondent aux deux erreurs habituelles : y = 3(x − 2)² + 7 conserve la constante de départ sans payer le 4 ajouté à l'intérieur, et y = (3x − 6)² − 5 élève tout le 3x au carré, ce qui se développe en 9x² − 36x + 31, une tout autre fonction. Quant à y = 3(x − 6)² − 101, elle ne coupe rien en deux et utilise −12 là où −4 doit aller.

Réponse : 3

On te donne la forme canonique avec une seule inconnue restante, et un point par lequel la courbe doit passer. Dire que le point (0, 7) appartient à la parabole signifie que ses coordonnées rendent la règle vraie : remplace donc x par 0 et y par 7, ce qui donne 7 = a(0 − 2)² − 5. Traite la parenthèse en premier, avant tout le reste : (0 − 2)² = (−2)² = 4, et le carré rend le résultat positif. Donc 7 = 4a − 5. Ajoute 5 des deux côtés : 12 = 4a. Divise par 4 : a = 3. La règle complète est y = 3(x − 2)² − 5, de sommet (2, −5). Vérifie en y remettant le point : 3(0 − 2)² − 5 = 3(4) − 5 = 12 − 5 = 7. C'est juste. Le faux pas habituel consiste à écrire (0 − 2)² = −4, en oubliant que le carré d'un nombre négatif est positif ; cela donnerait a = 1/2 au lieu de 3. Remarque enfin ce que a t'apprend : comme a = 3 est positif et supérieur à 1, la parabole s'ouvre vers le haut et elle est trois fois plus étroite que la parabole de base y = x².

Réponse : 2

En un point d'intersection, les deux courbes partagent le même x et le même y : les deux expressions de y doivent donc être égales, soit x² + 1 = 3x − 1. Ramène tout d'un côté pour obtenir une équation du second degré égale à zéro, car c'est la seule forme que la règle du produit nul accepte. Soustrais 3x et ajoute 1 : x² − 3x + 2 = 0. Factorise — deux nombres de produit 2 et de somme −3, soit −1 et −2 : (x − 1)(x − 2) = 0, donc x = 1 ou x = 2. La plus grande abscisse est 2. Trouve les points complets si tu les veux : à x = 1, y = 1² + 1 = 2 et aussi 3(1) − 1 = 2, donc (1, 2) ; à x = 2, y = 5 par les deux règles, donc (2, 5). Les deux vérifications concordent, et c'est tout l'intérêt de les faire dans la seconde équation plutôt que dans la première. Une chose mérite d'être comprise : le nombre d'intersections se décide avec le discriminant de l'équation combinée, ici (−3)² − 4(1)(2) = 1, positif, d'où deux points. S'il avait été nul, la droite serait tangente à la parabole, et négatif signifierait qu'elles ne se rencontrent jamais.

Réponse : 100 m²

Transforme la situation en fonction quadratique d'une seule variable. Soit x la largeur. Les quatre côtés étant clôturés, le périmètre vaut 40 : les deux largeurs et les deux longueurs consomment ensemble 40 m : 2x + 2L = 40, ce qui donne L = 20 − x. L'aire vaut alors A = x(20 − x) = 20x − x². C'est une fonction quadratique avec a = −1 et b = 20 ; comme a est négatif, elle possède un maximum à son sommet. Le sommet se trouve à x = −b / (2a) = −20 / (2 × −1) = 10. La largeur vaut donc 10 m et la longueur 20 − 10 = 10 m : c'est un carré. L'aire vaut A = 10 × 10 = 100 m². Vérifie avec une autre forme : 8 sur 12 a aussi un périmètre de 40, mais une aire de seulement 96 m², donc moindre, comme prévu. Le résultat général mérite d'être retenu : à périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est toujours le carré.