Quiz sur la factorisation d'expressions algébriques — Secondaire 4

Réponse : 3x(2x + 3)

Cherche toujours un facteur commun avant toute autre chose. Traite les nombres et les lettres séparément. Pour les nombres, le plus grand commun diviseur de 6 et 9 est 3. Pour les lettres, les deux termes contiennent x : le premier a x² et le second a x, on ne peut donc sortir que x, la plus petite puissance. Le facteur commun est donc 3x. Divise chaque terme par lui : 6x² ÷ 3x = 2x et 9x ÷ 3x = 3. Ainsi, 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Les autres options sont des factorisations incomplètes : dans 3(2x² + 3x), il reste un x à sortir, et dans x(6x + 9), il reste un 3. « Complètement » signifie qu'il ne reste rien à extraire de la parenthèse. Vérifie en développant : 3x × 2x = 6x² et 3x × 3 = 9x.

Réponse : (x − 7)(x + 7)

Deux signaux indiquent une différence de carrés : il n'y a que deux termes, ils sont soustraits et chacun est un carré parfait. Ici, x² est le carré de x et 49 est le carré de 7. L'identité est a² − b² = (a − b)(a + b), donc avec a = x et b = 7, on obtient (x − 7)(x + 7). Développe pour vérifier : x² + 7x − 7x − 49, où les deux termes du milieu s'annulent et il reste x² − 49. Cette annulation est précisément la raison d'être de l'identité. Attention à (x − 7)² : cela vaut x² − 14x + 49, une expression tout à fait différente. Et retiens qu'une somme de carrés comme x² + 49 ne se factorise vraiment pas dans les réels ; seule la différence se factorise.

Réponse : (x + 3)(x + 4)

Pour un trinôme x² + bx + c dont le coefficient de x² vaut 1, cherche deux nombres dont le produit est c et dont la somme est b. Ici, il te faut deux nombres dont le produit est 12 et la somme 7. Énumère les paires de produit 12 : 1 et 12 (somme 13), 2 et 6 (somme 8), 3 et 4 (somme 7). La dernière convient, donc x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4). Développe pour en être sûr : x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12. C'est juste. Remarque que (x − 3)(x − 4) donnerait x² − 7x + 12 : le produit des deux négatifs reste positif, la constante demeure donc +12, mais le terme du milieu change de signe. C'est le détail à surveiller quand les signes changent.

Réponse : (x − 7)(x + 2)

Il te faut deux nombres dont le produit est −14 et la somme −5. Comme le produit est négatif, les deux nombres sont de signes contraires ; et comme la somme est négative, c'est celui dont la valeur absolue est la plus grande qui porte le signe moins. Les paires de produit 14 sont 1 et 14, ou 2 et 7. Avec les signes : −7 et +2 donnent un produit de −14 et une somme de −5. C'est la bonne paire, donc x² − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2). Développe pour confirmer : x² + 2x − 7x − 14 = x² − 5x − 14. C'est juste. L'option (x + 7)(x − 2) donne +5x au milieu : la bonne grandeur, le mauvais signe, l'erreur de justesse typique dans ce genre de question.

Réponse : 8

Développe la forme factorisée, puis compare. Multiplie terme à terme : (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. Aligne cela avec x² + bx + 15 : les coefficients du milieu doivent coïncider, donc b = 8. Il existe un raccourci : dans un trinôme dont le coefficient de x² vaut 1, le coefficient du milieu est toujours la somme des deux nombres des parenthèses et la constante est toujours leur produit. Ici, 3 + 5 = 8 et 3 × 5 = 15, exactement ce qu'a donné le développement. Le savoir permet de factoriser et de développer de tête plutôt que d'écrire quatre termes chaque fois.

Réponse : (2x + 1)(x + 3)

Quand le coefficient de x² n'est pas 1, applique la méthode produit-somme sur a × c. Ici, a = 2 et c = 3, donc a × c = 6, et il te faut deux nombres de produit 6 et de somme 7 (le coefficient du milieu) : ce sont 1 et 6. Décompose le terme du milieu en conséquence : 2x² + x + 6x + 3. Regroupe ensuite par paires et factorise chaque paire : x(2x + 1) + 3(2x + 1). Les deux groupes partagent la parenthèse (2x + 1) : mets-la en évidence, ce qui donne (2x + 1)(x + 3). Développe pour vérifier : 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3. C'est juste. L'option proche (2x + 3)(x + 1) donne 2x² + 5x + 3 : bon premier terme, bonne constante, mauvais milieu. C'est pourquoi il faut toujours développer avant de passer à la suite.

Réponse : (x − 6)²

Vérifie s'il s'agit d'un trinôme carré parfait. Le premier terme x² est le carré de x et le dernier, 36, est le carré de 6. Pour que l'identité tienne, le terme du milieu doit valoir deux fois le produit de ces deux racines : 2 × x × 6 = 12x. Il est bien là, avec un signe moins, ce qui correspond à a² − 2ab + b² = (a − b)². La factorisation est donc (x − 6)². Développe pour vérifier : (x − 6)(x − 6) = x² − 6x − 6x + 36 = x² − 12x + 36. C'est juste. L'option (x − 4)(x − 9) donne bien 36 comme produit, mais 4 + 9 = 13 et non 12 : elle échoue. Quant à (x − 6)(x + 6), c'est la différence de carrés x² − 36, qui n'a aucun terme du milieu.

Réponse : (x + 2)(x² + 3)

Quatre termes sans facteur commun à tous : c'est le signal d'essayer la double mise en évidence. Coupe l'expression en deux moitiés : (x³ + 2x²) + (3x + 6). Factorise chaque moitié séparément. De la première, sors x² : x²(x + 2). De la seconde, sors 3 : 3(x + 2). Les deux moitiés partagent maintenant la même parenthèse (x + 2), et c'est ce qui fait fonctionner la méthode ; si les parenthèses étaient sorties différentes, il faudrait regrouper les termes dans un autre ordre. Mets la parenthèse commune en évidence : (x + 2)(x² + 3). Développe pour vérifier : x³ + 3x + 2x² + 6, soit l'expression de départ après réorganisation. L'option très proche (x + 2)(x² − 3) ne diffère que par un signe et se développe en x³ + 2x² − 3x − 6 : les deux derniers termes sortent négatifs. Développe toujours avant de trancher. Remarque enfin que x² + 3 ne se factorise pas davantage dans les réels, puisque c'est une somme de carrés.

Réponse : 5

Factorise d'abord le membre de gauche. Il te faut deux nombres de produit 20 et de somme −9 : les deux doivent être négatifs, et −4 et −5 conviennent, puisque (−4)(−5) = 20 et −4 + (−5) = −9. L'équation devient donc (x − 4)(x − 5) = 0. Applique maintenant la règle du produit nul : si un produit de deux facteurs vaut zéro, au moins un des facteurs est nul. Cela donne x − 4 = 0 ou x − 5 = 0, donc x = 4 ou x = 5. La plus grande solution est 5. Vérifie-la : 5² − 9(5) + 20 = 25 − 45 + 20 = 0. C'est juste. Une mise en garde sur la règle du produit nul : elle ne fonctionne que contre zéro. Si l'équation était (x − 4)(x − 5) = 6, tu ne pourrais rien conclure sur les facteurs ; il faudrait développer, tout ramener d'un côté et factoriser de nouveau.

Réponse : (2x − 5)(2x + 5)

C'est encore une différence de carrés, mais le premier carré porte un coefficient. Demande-toi ce qui, élevé au carré, donne 4x² : comme 2² = 4 et (x)² = x², la réponse est 2x, puisque (2x)² = 4x². Et 25 est le carré de 5. Applique a² − b² = (a − b)(a + b) avec a = 2x et b = 5 : (2x − 5)(2x + 5). Développe pour vérifier : 4x² + 10x − 10x − 25 = 4x² − 25. C'est juste. L'option 4(x − 5)(x + 5) se développe en 4x² − 100, ce qui n'est pas la même chose : sortir le 4 est fautif ici, car 4 ne divise pas 25. La leçon : prends la racine carrée de chaque terme complet, coefficient compris.

Réponse : 3(x − 2)(x + 2)

Cette question porte en réalité sur l'ordre des techniques : mise en évidence d'abord, identités remarquables ensuite. Les deux termes sont divisibles par 3 : commence par là, 3x² − 12 = 3(x² − 4). Ne t'arrête pas : la parenthèse est une différence de carrés, puisque x² est le carré de x et 4 le carré de 2. Factorise-la aussi : x² − 4 = (x − 2)(x + 2). La factorisation complète est donc 3(x − 2)(x + 2). Développe pour vérifier : (x − 2)(x + 2) = x² − 4, multiplié par 3 donne 3x² − 12. Reste à écarter avec soin deux options, car aucune des deux n'est une fausseté. 3(x² − 4) vaut bel et bien 3x² − 12 : c'est la bonne idée arrêtée une étape trop tôt, avec une différence de carrés encore à l'intérieur. Et (3x − 6)(x + 2) redonne aussi 3x² − 12 : c'est une vraie factorisation, mais le premier facteur contient encore un 3 à mettre en évidence, elle n'est donc pas complète non plus. Voilà précisément pourquoi la question dit « complètement » : une factorisation n'est terminée que lorsque plus aucun facteur ne peut être décomposé. La dernière option, elle, prend la racine carrée de 12 comme si c'était 4, ce qu'elle n'est pas. Remarque enfin à quel point le travail devient simple quand on sort le 3 d'abord : en appliquant la différence de carrés directement sur 3x² − 12, tu te serais retrouvé avec des racines irrationnelles.

Réponse : 3 cm

L'aire d'un rectangle est la largeur multipliée par la longueur, donc A = x(x + 5) = x² + 5x. Remarque que la forme factorisée x(x + 5) est l'image elle-même : factoriser un trinôme du second degré, c'est littéralement retrouver les côtés d'un rectangle ayant cette aire. Pose l'aire égale à 24 : x² + 5x = 24. Ramène tout d'un côté pour pouvoir utiliser la règle du produit nul : x² + 5x − 24 = 0. Factorise — il te faut deux nombres de produit −24 et de somme 5, soit 8 et −3 : (x + 8)(x − 3) = 0. Donc x = −8 ou x = 3. Pense maintenant à la situation et pas seulement à l'algèbre : une largeur ne peut pas être négative, on rejette donc −8 et on garde x = 3 cm. Vérification : largeur 3, longueur 8, aire 3 × 8 = 24 cm². C'est juste. Écarter la solution qui n'a aucun sens physique fait partie de la réponse, ce n'est pas un détail.