Quiz sur les relations linéaires et la représentation graphique — Secondaire 3

Réponse : 3

Le taux de variation mesure de combien y change quand x augmente d'une unité. La formule est a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Prends (x₁, y₁) = (1, 2) et (x₂, y₂) = (4, 11). La variation verticale vaut 11 − 2 = 9 et la variation horizontale vaut 4 − 1 = 3. Donc a = 9 / 3 = 3. En mots : chaque fois que x avance d'un pas vers la droite, y monte de 3. Tu peux prendre les points dans l'autre ordre — (2 − 11) / (1 − 4) = −9 / −3 = 3 — et tu obtiens le même taux, ce qui est une bonne vérification. Ce qu'il ne faut jamais faire, c'est mélanger les ordres, comme (11 − 2) / (1 − 4), car cela inverse le signe.

Réponse : La valeur de y quand x = 0

Dans la forme y = ax + b, la lettre a est le taux de variation et b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur initiale. On le voit en remplaçant x par 0 : y = −2(0) + 5 = 5. La droite passe donc par le point (0, 5), là où elle croise l'axe vertical. Reste à écarter les trois autres options, car chacune nomme une quantité réelle qui, simplement, ne vaut pas 5. Le taux de variation vaut ici −2 : la droite descend de deux unités à chaque pas vers la droite. La valeur de x quand y = 0 est l'abscisse à l'origine : 0 = −2x + 5 donne x = 2,5, un tout autre nombre. Et la variation de y quand x augmente de 1, c'est une autre façon de dire le taux de variation, donc −2 également. Dans une situation concrète, b est la quantité de départ — frais d'adhésion, hauteur initiale, salaire de base — et a est ce qui se passe par unité ensuite.

Réponse : 5

Remplace x par 3 partout, puis respecte la priorité des opérations : la multiplication avant la soustraction. y = 4(3) − 7 = 12 − 7 = 5. Le point (3, 5) appartient donc à la droite. Une erreur courante est de calculer 4 × (3 − 7) = −16, ce qui correspondrait à y = 4(x − 7), une tout autre droite. La règle telle qu'elle est écrite multiplie d'abord x par 4, et ne retire 7 qu'ensuite.

Réponse : y = 2x − 1

Relève deux points faciles sur le graphique, de préférence là où la droite passe sur un coin du quadrillage. La droite passe par (0, −1) et (2, 3). L'ordonnée à l'origine se lit directement : la droite croise l'axe vertical à −1, donc b = −1. Cela élimine déjà y = 2x + 1. Le taux de variation ensuite : de (0, −1) à (2, 3), y monte de 3 − (−1) = 4 pendant que x avance de 2 − 0 = 2, donc a = 4 / 2 = 2. La droite monte nettement vers la droite : le taux doit être positif, ce qui élimine y = −2x − 1 ; et elle monte plus vite qu'une unité par pas, ce qui élimine y = x − 1. La règle est y = 2x − 1. Confirme avec un troisième point : à x = 1, le graphique donne y = 1, et 2(1) − 1 = 1. Ça concorde.

Réponse : 4

Tout point de l'axe des x a une hauteur nulle : l'abscisse à l'origine s'obtient donc en posant y = 0 et en résolvant. 0 = 3x − 12. Ajoute 12 des deux côtés : 12 = 3x. Divise par 3 : x = 4. La droite croise l'axe horizontal au point (4, 0). Ne confonds pas avec l'ordonnée à l'origine, qu'on obtient en posant x = 0 et qui vaut ici −12. Petite vérification de bon sens : la droite part de −12 quand x = 0 et monte de 3 par pas, il lui faut donc 12 ÷ 3 = 4 pas pour atteindre zéro.

Réponse : 90

Écris la règle avant de toucher aux nombres. Les frais d'inscription se paient une seule fois : c'est la valeur initiale b = 30. Chaque visite ajoute 5 $ : le taux de variation vaut a = 5. La règle est C = 5n + 30, où n est le nombre de visites. Remplace maintenant n par 12 : C = 5(12) + 30 = 60 + 30 = 90 dollars. Deux détails à remarquer : le graphique de cette situation est une droite qui part de 30 sur l'axe vertical et non de l'origine, et le coût moyen par visite, 90 ÷ 12 = 7,50, n'est pas le taux de variation de 5 — les frais d'inscription se répartissent sur les visites.

Réponse : y = (2/3)x − 4

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont exactement le même taux de variation. Le taux est ici 2/3 : cherche donc une autre règle dont le coefficient de x vaut aussi 2/3, soit y = (2/3)x − 4. Son ordonnée à l'origine diffère, c'est donc bien une autre droite qui longe la première sans jamais la rencontrer. Pourquoi la question précise-t-elle « sans être la même droite » ? Parce qu'une droite est parallèle à elle-même — on parle alors de parallèles confondues — et il faut écarter ce cas, sinon la règle de départ serait elle aussi une réponse acceptable. L'option y = (3/2)x + 1 a le taux inverse, donc plus incliné : pas parallèle. L'option −(2/3)x + 1 a le taux opposé : elle descend au lieu de monter. Et y = 2x + 3 a un taux de 2, une tout autre inclinaison. À retenir pour plus tard : deux droites perpendiculaires ont des taux dont le produit vaut −1, soit ici −3/2.

Réponse : 2

Au point d'intersection, les deux droites partagent le même x et le même y. Comme les deux règles donnent y, tu peux poser l'égalité des membres de droite : 2x + 1 = −x + 7. Ajoute x des deux côtés pour regrouper les termes en x : 3x + 1 = 7. Soustrais 1 : 3x = 6. Divise par 3 : x = 2. Pour obtenir le point complet, remplace dans l'une ou l'autre règle : y = 2(2) + 1 = 5, et la vérification avec l'autre règle donne y = −2 + 7 = 5. Même valeur : les droites se croisent en (2, 5). Vérifier dans la deuxième équation n'est pas une formalité, c'est ce qui rattrape une erreur de calcul.

Réponse : Oui, car 2(3) − 1 = 5

Un point appartient à une droite exactement quand ses coordonnées rendent l'équation vraie. Dans le couple (3, 5), le premier nombre est toujours x et le second toujours y : remplace donc x par 3 et y par 5. Le membre de droite donne 2(3) − 1 = 6 − 1 = 5, et le membre de gauche vaut 5. Les deux concordent : oui, le point est sur la droite. Chaque mauvaise option correspond à un faux pas précis. « 2(5) − 1 = 9 » remplace les nombres à l'envers, en mettant y à la place de x, une inversion qui fait trébucher bien des élèves. « 3 + 5 = 8 » additionne les coordonnées, ce qui ne teste rien de la règle. Et « 2(3) + 1 = 7 » prend la bonne valeur de x mais ajoute 1 au lieu de le soustraire : le calcul est bon, le signe ne l'est pas.

Réponse : −1

Trouve d'abord le taux de variation, puis sers-toi d'un point pour trouver b. Taux : a = (17 − 5) / (6 − 2) = 12 / 4 = 3. La règle a donc la forme y = 3x + b. Remplace maintenant un point connu — prends (2, 5) : 5 = 3(2) + b, donc 5 = 6 + b et b = −1. La règle est y = 3x − 1. Vérifie avec l'autre point, c'est bien pour ça qu'on en a deux : 3(6) − 1 = 18 − 1 = 17. C'est juste. Le raisonnement à rebours fonctionne aussi : de x = 2 à x = 0, tu fais deux pas vers la gauche, chacun faisant baisser y de 3, donc y passe de 5 à 5 − 6 = −1.

Réponse : 60 km/h

Sur un graphique distance-temps, le taux de variation est la vitesse, car il vaut la variation de distance divisée par la variation de temps, ce qui est exactement la définition de la vitesse. Relève deux points sur la droite : elle part de l'origine (0 h, 0 km) et atteint (4 h, 240 km). La variation verticale vaut 240 − 0 = 240 km et l'horizontale 4 − 0 = 4 h, donc le taux vaut 240 / 4 = 60 km/h. Comme le graphique est une droite, la vitesse est constante pendant tout le trajet ; une courbe signifierait une vitesse qui change. Et comme la droite passe par l'origine, la distance est ici directement proportionnelle au temps : la règle est simplement d = 60t, sans terme constant.

Réponse : 15 heures

Écris une règle par entreprise, avec h pour le nombre d'heures. Entreprise A : C = 3h + 20. Entreprise B : C = 2h + 35. « Coûter la même chose » signifie que les deux expressions sont égales : 3h + 20 = 2h + 35. Soustrais 2h des deux côtés pour regrouper les termes en h à gauche : h + 20 = 35. Soustrais 20 : h = 15 heures. Vérifie les deux : A donne 3(15) + 20 = 45 + 20 = 65 dollars et B donne 2(15) + 35 = 30 + 35 = 65 dollars. Ça concorde, 15 heures est la bonne réponse. Les mauvaises options viennent chacune d'une étape mal menée : 5 divise l'écart de 15 dollars par 3 au lieu de le diviser par la différence des deux taux, 7,5 le divise par 2 et 3 le divise par 5. La lecture graphique rend l'histoire limpide : A part moins cher mais monte plus vite, les deux droites se croisent en (15, 65), et au-delà de ce point c'est B qui devient avantageuse.